Критерий Келли и плоская ставка

Среди всего, что принято называть системами ставок, есть одна формула, которая действительно работает, и называется она «критерием Келли» (правилом, которое считает, какую долю капитала ставить при известном преимуществе). Придумана она была в тысяча девятьсот пятьдесят шестом году для совсем другой задачи (передачи сигнала по зашумлённой линии), попала в разговор о казино позже и чаще всего приводится там как доказательство того, что математика всё-таки помогает игроку.

Помогает она на самом деле, но не так, как ожидают, и разобрать это нужно внимательно: применённая к игре казино честно, формула даёт отрицательный ответ, и ответ этот стоит разобрать по шагам.

Что считает формула

Критерий Келли отвечает на вопрос, какую часть капитала поставить, чтобы капитал рос быстрее всего при многократном повторении одной и той же ставки с известным преимуществом. Записывается он коротко, и мы приводим его словами: доля равна произведению коэффициента на вероятность выигрыша, минус вероятность проигрыша, и всё это делённое на коэффициент.

«Коэффициент» здесь — это чистая выплата на единицу ставки, то есть для ставки с равными шансами он равен единице; вероятности берутся из устройства игры, если оно известно, или оцениваются, если не известно. Условие у формулы ровно одно, и оно решает всё: преимущество должно быть на стороне того, кто ставит (а не заведения).

Что она отвечает на рулетке

Подставим в формулу европейскую рулетку и ставку на чёт, где всё известно точно и где оценивать, к счастью, ничего не нужно. Коэффициент равен единице, вероятность выигрыша — восемнадцать тридцать седьмых, вероятность проигрыша — девятнадцать тридцать седьмых, и доля капитала получается равной восемнадцати тридцать седьмым минус девятнадцать тридцать седьмых.

Это минус одна тридцать седьмая, то есть минус 2,70 процента. Формула отвечает отрицательным числом, а «отрицательная доля» (ставка на противоположный исход) означает, что ставить следует на противоположную сторону — которой за этим столом не существует, потому что заведение свою сторону игроку не продаёт.

Почему это и есть преимущество заведения

Число, которое вернула формула, не случайно похоже на то, которое уже стоит у нас на странице о преимуществе: это оно и есть, с обратным знаком. Критерий Келли, применённый к игре с отрицательным ожиданием, возвращает ровно величину этого ожидания и тем самым говорит единственное, что можно сказать честно: оптимальная доля капитала равна нулю.

Иными словами, самая уважаемая формула управления ставкой на вопрос «сколько поставить в казино» отвечает «нисколько», и ответ этот она даёт не из осторожности, а по построению. Лучшей рекомендации у математики для этого стола нет (и взяться ей неоткуда).

Откуда берётся путаница

В источниках, где критерий Келли подан как рабочая стратегия для казино, а таких мы видели много, пример почти всегда взят из спортивных ставок: игрок считает, что у команды шансы шестьдесят процентов, коэффициент при этом два с половиной; формула велит поставить треть капитала (то есть очень много). Вычисление верное, но держится оно целиком на первой цифре, которую игрок не знает, а оценивает сам.

Разница тут принципиальная, и видеть её нужно ясно: в рулетке вероятности заданы устройством колеса и проверке поддаются, а в ставке на команду они берутся из оценки (чужой или собственной), и ошибка в этой оценке разрушает весь расчёт. Там, где вероятности известны точно, формула отвечает «не ставить»; там, где она отвечает «ставить», вероятности неизвестны.

Плоская ставка как мера сравнения

Если Келли отвечает «нисколько», а играть всё-таки решено, то разумным остаётся единственный способ ставить — одинаковой суммой каждый раз. «Плоская ставка» (одна и та же сумма каждый раз) не обещает вернуть потерянное, не растёт после проигрыша и не разгоняется после выигрыша, и именно поэтому её часто записывают в неудачные системы, упрекая в том, что она медленно восстанавливает убыток.

Упрёк этот означает лишь то, что она не является «мартингейлом», и хвалить её надо ровно за это. При равном обороте плоская ставка даёт наименьший разброс результата, а потому она служит той мерой, с которой стоит сравнивать все остальные.

Что из этого следует для вечера

Цена вечера, как мы уже посчитали на общей странице, равна преимуществу заведения, умноженному на оборот, и значит решений, которые на неё влияют, ровно два: во что играть и сколько через стол пропустить. Выбор игры двигает преимущество от половины процента в блэкджеке по основной стратегии до двадцати и более в кено; это самый крупный рычаг из доступных игроку.

Второй рычаг — это размер ставки и число кругов, и работает он только в одну сторону: меньше оборот, меньше ожидаемая потеря. Никакого третьего рычага ни одна из двадцати систем не добавляет, и критерий Келли это подтверждает прямым счётом!